前言

球缺（Spherical Cap）就是在一个球上被切一刀，剩下的部分。

如下图所示，

球缺就是途中浅蓝色部分。$r$是球体的半径，$a$是球缺的底面半径，$h$是球缺的高，$\theta$是球缺的极角（Polar Angle）。

	用$r$和$h$	用$a$和$h$	用$r$和$\theta$
体积	$V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$	$V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})$	$V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}$
表面积	$A = 2 \pi r h$	$A = \pi (a^2 + h^2)$	$A = 2 \pi r^2 (1 - \cos \theta)$

单位圆盘的均匀采样

在考虑球缺表面的均匀采样之前，我们先考虑在单位圆盘均匀采样。这篇文章介绍了一种在单位圆盘均匀采样的算法。

在说明正确做法前，先来说说一个常用的错误做法。首先利用均匀采样，取得两个变量$r \in [0, 1]$和$\theta \in [-\pi, \pi]$。然后我们可以用它们表示在单位圆中的坐标为：

\[(r \cos \theta, r \sin \theta)\]

我们来考虑面积的分布。对单位圆的面积公式$A = \pi r^2$求微分，可以得到：

\[dA = 2 \pi r dr\]

从这个公式可以看出，$dA$和$dr$并不成线性关系，而是还有一个可变系数$r$，因此当固定角度时，在半径方向上对$r$的均匀采样并不能得到均匀的分布。因此这种采样将会获得下图的分布

我们会发现，越靠近圆心，点越密集，这也证明了半径方向上分布不均。

如果我们把点坐标改为：

\[(\sqrt{r} \cos \theta, \sqrt{r} \sin \theta)\]

那么上面的微分就变为：

\[dA = 2 \pi \sqrt{r} d \sqrt{r} = \pi dr\]

$dA$和$dr$是线性关系，且$\sqrt{r} \in [0, 1], r \in [0, 1]$，所以我们得到了半径方向上的均匀分布。

而面积与角度同样是线性分布的，故最终采样的结果会像下图一样，在单位圆盘中均匀分布。

下面我们的更复杂的采样，都会基于单位圆盘的均匀采样，然后通过等面积映射，得到对应平面或曲面的均匀采样。

这篇文章给出了一个等面积映射，将单位圆盘映射到单位球表面，结合上面单位圆盘的均匀采样，实现在单位球面的均匀采样。

对于单位圆盘的均匀采样得到的任意一点$(x, y)$，对应到单位球面的坐标为：

\[\left(2x \cdot r\sqrt{1-r^2 \left(x^2+y^2\right)},~2y \cdot r\sqrt{1-r^2 \left(x^2+y^2\right)},~1-2r^2 \left(x^2+y^2\right)\right)\]

其中$r = 1$。

这篇文章做了一系列实验，来验证下面的几个结论：

下面是按照上述公式采样得到的单位球面上的点。

对于圆盘、球面、球缺，半径为r，球缺高度为h，使得他们的表面积相等，则有

\[A_d = \pi r^2 \\ A_s = 4 \pi r^2 \\ A_c = 2 \pi r h\]

从上式可以看出，球面的表面积和圆盘的面积相差一个常系数，并且球缺的面积与高度成线性关系。结合第一节关于单位圆盘面积与半径方向均匀分布的讨论，假设球缺的半径为1，并且让球面表面积与球缺表面积相等，可以得到下式

\[\frac{2 \pi h}{4} = \pi r^2\]

求解$r$，得到

\[r = \sqrt{\frac{h}{2}}\]

代入上面球面的公式，得到

\[\left(x\sqrt{h\left(2-h\left(x^2+y^2\right)\right)},~y\sqrt{h\left(2-h\left(x^2+y^2\right)\right)},~1-h\left(x^2+y^2\right)\right)\]

To Be Continued