根据材料1的推导，给定旋转向量$\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{R}^3$，它对应的旋转矩阵为$\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{3\times3} = \text{Exp}(\boldsymbol{\theta}) = \text{exp}([\boldsymbol{\theta}]_{\times})$。定义$\boldsymbol{\theta}$的 Right Jacobian Matrix 为：
\[\mathbf{J}_r(\boldsymbol{\theta}) \overset{\Delta}{=} \frac{\partial\text{Exp}(\boldsymbol{\theta})}{\partial\boldsymbol{\theta}}\]材料1同时给出了它和它的逆的展开式：
\[\mathbf{J}_r(\boldsymbol{\theta}) = \mathbf{I} - \frac{1 - \cos\|\boldsymbol{\theta}\|}{\|\boldsymbol{\theta}\|^2} [\boldsymbol{\theta}]_{\times} + \frac{\|\boldsymbol{\theta}\| - \sin\|\boldsymbol{\theta}\|}{\|\boldsymbol{\theta}\|^3} [\boldsymbol{\theta}]_{\times}^2 \\ \mathbf{J}^{-1}_r(\boldsymbol{\theta}) = \mathbf{I} + \frac{1}{2} [\boldsymbol{\theta}]_{\times} + \Big(\frac{1}{\|\boldsymbol{\theta}\|^2} - \frac{1 + \cos\|\boldsymbol{\theta}\|}{2\|\boldsymbol{\theta}\|\sin\|\boldsymbol{\theta}\|}\Big) [\boldsymbol{\theta}]_{\times}^2\]一般情况下，把对应的旋转向量带入即可，但是当旋转角度$\theta = |\boldsymbol{\theta}|$太小的时候，就需要将上式进行泰勒展开。
根据上式几个项的泰勒展开：
- https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor(1-cos(x))%2Fx%5E2%2Cx%3D0
- https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor(x-sin(x))%2Fx%5E3%2Cx%3D0
- https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor(1%2Fx%5E2-(1%2Bcos(x))%2F(2xsin(x)))%2Cx%3D0
忽略泰勒展开后的二次方及以上的项，可以得到：
\[\mathbf{J}_r(\boldsymbol{\theta}) \approx \mathbf{I} - \frac{1}{2} [\boldsymbol{\theta}]_{\times} + \frac{1}{6} [\boldsymbol{\theta}]_{\times}^2 \\ \mathbf{J}^{-1}_r(\boldsymbol{\theta}) \approx \mathbf{I} + \frac{1}{2} [\boldsymbol{\theta}]_{\times} + \frac{1}{12} [\boldsymbol{\theta}]_{\times}^2\]